电化学阻抗谱数学理论（EIS-Math）

1 技术理论

阻抗的定义是衡量电路在施加交流电通过时困难程度。它类似于欧姆定律，但与欧姆定律不同的是，阻抗可以根据施加电位或电流频率的函数而变化。

在EIS实验中，如果施加的信号是电位而测量的结果是电流，则称为“恒电位EIS”。当施加的信号是电流而测量的结果是电位时，它被称为“恒流EIS”。对于恒电位EIS，施加电位的形式如式1所示:

其中为潜在的正弦波幅度，为角频率，为时间，项表示波形的相位。如果足够小，使得系统是线性的，则生成的电流波形也是正弦的，并且与输入信号具有相同的频率;但也可能发生相移，如式2所示:

其中为当前正弦波幅度，为相位角位移。 需要对施加的和产生的波形(公式1和2)进行更方便的数学重排，以清楚显示测量的阻抗。这是通过欧拉公式使用复数坐标来实现的，欧拉公式定义为:

其中表示虚单位(不是传统的符号，以防止与表示电流的符号混淆)，是任何实数。将代入类似于式1和式2形式的角度，其中为任意给定的相位角位移，所有项乘以给定的恒定振幅，则式3重新排列如下:

方程4的右边是一个复数，而左边只包含一个实数。因此通过等同方程两边的实部，得到以下表达式:

其中是数字的实部。等式5右边的第二项被消除了，因为它是虚数，并且运算符从左边被删除，因为实数的余弦值也是实数:

方程6进一步简化如下:

其中是所有定常项的集合，相当于以下内容:

利用式7，分别将式1和式2中所示的外加电位和响应输出电流波形改写为:

其中定不因时间变化的常量和等价于:

阻抗有效性的一个条件是稳定性(即稳态或定常)。

因此，根据公式9至12，阻抗表达式类似于欧姆定律如下:

将式11和式12代入式13可得:

式中为阻抗幅度，等价于。利用欧拉公式(式3)，最终将式14展开为:

这种数学上的重新排列允许分别计算阻抗的实部，相当于和虚部相当于

在EIS实验中，大多数商业软件包自动对每个频率的输入和输出信号进行傅里叶变换，以提取和的相应值。然后将这些值与公式15一起用于计算和。因此，典型EIS实验的结果是一个包含五列的数据表: 、、、和。

2 参考文献

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