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阻抗的介绍 苏州赛秘尔电子科技有限公司
阅读：1514 发布时间：2018-1-2阻抗（electrical impedance）是电路中电阻、电感、电容对交流电的阻碍作用的统称。阻抗衡量流动于电路的交流电所遇到的阻碍。阻抗将电阻的概念加以延伸至交流电路领域，不仅描述电压与电流的相对振幅，也描述其相对相位。当通过电路的电流是直流电时，电阻与阻抗相等，电阻可以视为相位为零的阻抗。
阻抗通常以符号 {\displaystyle Z}
具体而言，阻抗定义为电压与电流的频域比率[1]。阻抗的大小 {\displaystyle Z_{m}}
英文术语“impedance”是由物理学者奥利弗·亥维赛于1886年发表论文《电工》给出[2][3]。于1893年，电机工程师亚瑟·肯乃利（Arthur Kennelly）zui先以复数表示阻抗[4]。
复阻抗
阻抗是复数，可以与术语“复阻抗”替换使用。阻抗通常以相量来表示，这种表示法称为“相量表示法”。相量有三种等价形式：
- 直角形式：{\displaystyle R+jX}
、
- 极形式：{\displaystyle Z_{m}\angle \theta }
- 指数形式：{\displaystyle Z_{m}e^{j\theta }}
其中，电阻 {\displaystyle R}
从直角形式转换到指数形式可以使用方程
{\displaystyle R=Z_{m}\cos \theta }
{\displaystyle X=Z_{m}\sin \theta }
从指数形式转换到直角形式可以使用方程
{\displaystyle Z_{m}={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}}
{\displaystyle \theta =\arctan(X/R)}
极形式适用于实际工程标示，而直角形式比较适用于几个阻抗相加或相减的案例，指数形式则比较适用于几个阻抗相乘或相除的案例。在作电路分析时，例如在计算两个阻抗并联的总阻抗时，可能会需要作几次形式转换。这种形式转换必需要依照复数转换定则。
欧姆定律
连接于电路的交流电源会给出电压 {\displaystyle v(t)}
主条目：欧姆定律
借着欧姆定律，可以了解阻抗的内涵[5]：
{\displaystyle v=iZ=iZ_{m}e^{j\theta }}
阻抗大小 {\displaystyle Z_{m}}
就像电阻将欧姆定律延伸至交流电路领域，其它直流电路分析的结果，例如电压分配（voltage division）、电流分配（current division）、戴维宁定理、诺顿定理等等，都可以延伸至交流电路领域，只需要将电阻更换为阻抗就行了。
复值电压与电流
电路内的广义阻抗可以描绘为与电阻符号相同的形状，或者描绘为加有标签的盒子。
为了简化计算，正弦电压波 {\displaystyle v(t)}
{\displaystyle v(t)=V_{m}e^{j(\omega t+\phi _{V})}}
{\displaystyle i(t)=I_{m}e^{j(\omega t+\phi _{I})}}
其中，{\displaystyle V_{m}>0}
阻抗定义为电压除以电流：
{\displaystyle Z\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {v(t)}{i(t)}}}
将这公式代入欧姆定律，可以得到
{\displaystyle {\begin{aligned}V_{m}e^{j(\omega t+\phi _{V})}&=I_{m}e^{j(\omega t+\phi _{I})}Z_{m}e^{j\theta }\\&=I_{m}Z_{m}e^{j(\omega t+\phi _{I}+\theta )}end{aligned}}}
注意到对于任意时间 {\displaystyle t}
{\displaystyle V_{m}=I_{m}Z_{m}}
{\displaystyle \ \phi _{V}=\phi _{I}+\theta }
*个方程乃是熟悉的表达电压与电流之间关系的欧姆定律，第二个方程给出相位关系。
用相量表示法来描述，相量 {\displaystyle V}
{\displaystyle V=V_{m}e^{j\phi _{V}}}
{\displaystyle I=I_{m}e^{j\phi _{I}}}
正弦波 {\displaystyle v(t)}
{\displaystyle v(t)=Ve^{j\omega t}}
{\displaystyle i(t)=Ie^{j\omega t}}
阻抗的定义为
{\displaystyle Z\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {V}{I}}}
复数运算的正确性
根据欧拉公式，余弦函数可以表示为
{\displaystyle \cos(\omega t+\phi )={\frac {1}{2}}{\Big [}e^{j(\omega t+\phi )}+e^{-j(\omega t+\phi )}{\Big ]}}![\cos(\omega t+\phi )={\frac {1}{2}}{\Big [}e^{{j(\omega t+\phi )}}+e^{{-j(\omega t+\phi )}}{\Big ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe179761c6d8bd429e70771c89e19bccb20e42b)
这是一个可以用来表示电压或电流波形的实值余弦函数，可以被分解为两个复值函数。所以，只要分析方程右边的两个复值项目的行为，就可以明了方程左边的实值余弦函数的行为。由于这两个复值项目的实部相等，实际而言，只需要分析其中一个项目，取这项目的实部，就可以得到余弦函数：
{\displaystyle \cos(\omega t+\phi )=\mathrm {Re} {\Big \{}e^{j(\omega t+\phi )}{\Big \}}}
换句话说，只要取计算结果的实部，就可以得到答案。
在傅里叶分析中，激励可以写成多个正弦波的叠加。根据叠加原理，每个正弦波可以单独分析计算出各自的反应，（反应本身也是一个正弦波，其频率与激励的频率相同，但通常两者的振幅、相位都不相同，反应的振幅、相位会有所改变。）对于原本激励的响应是所有单独正弦波的响应在时域的总和（或积分）。这些单独正弦波都可以转换为以复数运算。[6]
相量
主条目：相量
相量是一个常定复数，可以代表参数为时间的正弦函数的复振幅（大小和相位）。电机工程师常会使用相量作复数运算，因为能够简化涉及正弦函数的运算，将一个微分方程问题约化为代数方程问题。
一个电路元件的阻抗可以定义为元件两端的电压相量与通过元件的电流相量，两者之间的比率，即电压与电流之间的相对振幅与相对相位。注意到因子 {\displaystyle e^{j\omega t}}
电路元件的阻抗
电容器两端的电压滞后于通过电容器的电流，两者之间的相位差为 {\displaystyle \pi /2}
理想电阻器的阻抗 {\displaystyle Z_{R}}
{\displaystyle Z_{R}=R}
其中，{\displaystyle R}
理想电容器和理想电感器的阻抗 {\displaystyle Z_{C}}
{\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}}
{\displaystyle Z_{L}=j\omega L}
其中，{\displaystyle C}
注意到以下两个很有用的全等式：
{\displaystyle j=e^{j\pi /2}}
{\displaystyle -j=e^{-j\pi /2}}
应用这些全等式，理想电容器和理想电感器的阻抗以指数形式重写为
{\displaystyle Z_{C}={\frac {e^{-j\pi /2}}{\omega C}}}
{\displaystyle Z_{L}=\omega Le^{j\pi /2}}
给定通过某阻抗元件的电流振幅，复阻抗的大小给出这阻抗元件两端的电压振幅，而复阻抗的指数因子则给出相位关系。
电阻器、电容器和电感器是三种基本电路元件。以下段落会推导出这些元件的阻抗。这些导引假定正弦信号。通过傅里叶分析，任意信号可以视为一组正弦函数的总和。所以，这些导引可以延伸至任意信号。
电阻器
根据欧姆定律，通过电阻器的含时电流 {\displaystyle i_{R}(t)}
{\displaystyle v_{R}(t)=i_{R}(t)R}
其中，{\displaystyle t}
设定含时电压信号为
{\displaystyle v_{R}(t)=V_{0}\cos(\omega t)=V_{0}e^{j\omega t},\uad V_{0}>0}
则含时电流为
{\displaystyle i_{R}(t)={\frac {V_{0}}{R}}e^{j\omega t}}
两者的大小分别为 {\displaystyle V_{0}}
{\displaystyle Z_{R}=R}
电阻器的阻抗是实数。理想电阻器不会制造相位差。
电容器
通过电容器的含时电流 {\displaystyle i_{C}(t)}
{\displaystyle i_{C}(t)=C{\frac {\operatorname {d} v_{C}(t)}{\operatorname {d} t}}}
设定含时电压信号为
{\displaystyle v_{C}(t)=V_{0}\sin(\omega t)=\operatorname {Re} \{V_{0}e^{j(\omega t-\pi /2)}\}=\operatorname {Re} \{V_{C}e^{j\omega t}\},\uad V_{0}>0}
则电流为
{\displaystyle i_{C}(t)=\omega V_{0}C\cos(\omega t)=\operatorname {Re} \{\omega V_{0}Ce^{j\omega t}\}=\operatorname {Re} \{I_{C}e^{j\omega t}\}}
两者的除商为
{\displaystyle {\frac {v_{C}(t)}{i_{C}(t)}}={\frac {V_{0}\sin(\omega t)}{\omega V_{0}C\cos(\omega t)}}={\frac {\sin(\omega t)}{\omega C\sin \left(\omega t+{\frac {\pi }{2}}\right)}}}
所以，电容器阻抗的大小为 {\displaystyle 1/\omega C}
以相量形式表示，
{\displaystyle V_{C}=V_{0}e^{j(-\pi /2)},\uad V_{0}>0}
{\displaystyle I_{C}=\omega V_{0}Ce^{j0}}
{\displaystyle Z_{C}={\frac {e^{-j\pi /2}}{\omega C}}}
或者，应用欧拉公式，
{\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}}
电感器
通过电感器的含时电流 {\displaystyle i_{L}(t)}
{\displaystyle v_{L}(t)=L{\frac {\operatorname {d} i_{L}(t)}{\operatorname {d} t}}}
设定含时电流信号为
{\displaystyle i_{L}(t)=I_{0}\cos(\omega t)}
则电压为
{\displaystyle v_{L}(t)=-\omega LI_{0}\sin(\omega t)=\omega LI_{0}\cos(\omega t+\pi /2)}
两者的除商为
{\displaystyle {\frac {v_{L}(t)}{i_{L}(t)}}={\frac {\omega L\cos(\omega t+\pi /2)}{\cos(\omega t)}}}
所以，电感器阻抗的大小为 {\displaystyle \omega L}
以相量形式表示，
{\displaystyle i_{L}(t)=I_{0}e^{j\omega t},\uad I_{0}>0}
{\displaystyle v_{L}(t)=\omega LI_{0}e^{j(\omega t+\pi /2)}}
{\displaystyle Z_{L}=\omega Le^{j\pi /2}}
或者，应用欧拉公式，
{\displaystyle Z_{L}=j\omega L}
广义 s-平面阻抗
以 {\displaystyle j\omega }
| 元件 | 阻抗表达式 |
|---|---|
| 电阻器 | {\displaystyle R} |
| 电容器 | {\displaystyle 1/sC} |
| 电感器 | {\displaystyle sL} |
对于直流电路，这简化为 {\displaystyle s=0}
电抗
主条目：电抗
电抗是阻抗的虚部。电阻 {\displaystyle R}
{\displaystyle Z_{m}={\sqrt {ZZ^{*}}}={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}}
{\displaystyle \theta =\arctan {\left({\frac {X}{R}}\right)}}
具有有限电抗的电路元件，会使得其两端的电压与通过的电流发生相位差 {\displaystyle \theta }
{\displaystyle X=Z_{m}\sin \theta }
运作时，纯电抗元件会交替地从电路吸收电能，然后又将电能还给电路；纯电抗元件不会耗散任何电能。
容抗
电介质分子因为电子受到电场影响，使得分子偏离平衡位置。为了方便说明，本图将电介质和电极的空隙加大，实际上电介质会直接和电极接触。
主条目：电容
理想电容器的阻抗是虚数，不具有实部，其虚部称为“容抗”，与信号的角频率成反比。电容器是由两块导体和夹在中间的电介质构成，其容抗为
{\displaystyle X_{C}=-1/\omega C}
从这方程可以观察到，当交流电源的角频率 {\displaystyle \omega }
更详细地描述，假设连接直流电流源于平行板电容器的两端，由于电容器中有绝缘的电介质阻隔，电荷无法穿过电容器，电容器的一块平行板会累积正电荷,另一块平行板会累积负电荷。这过程称为“充电”。注意到在这充电过程，整个电容器仍旧维持电中性。分别累积于两块平行板的正电荷和负电荷会产生电场。依照不同的电介质属性而定，这电场会将电介质的正负电荷稍微分开，或者按照电场方向改变每一个电介质分子的定向，将电介质电极化，这会在电介质的表面形成面束缚电荷与其对应的感应电场，其方向与原本电场相反，因此减弱原本电场的实际作用，所以电介质可以增加电容器的电容。由于电容器的总电场，电容器的两块平行板之间会出现电压。等到这电压不再变动之后，通过电容器的电流会等于零，所以，一般会说电容器不允许直流电流通过。
假设连接交流电流源或交流电压源于平行板电容器的两端，由于电流会周期性的变换方向，交流电流会轮流对电容器的两块平行板充电和放电，处于两块平行板的电荷会周期性的变化，因此在一个周期内，除了电流由正变负（或由负变正）的那一瞬间之外，通过电容器的电流均不为零。因此，一般认为电容器可允许交流电流通过。注意到电容器只能够累积有*的电荷。
感抗
主条目：电感
理想电感器的阻抗是虚数，不具有实部，其虚部称为“感抗”，与信号的角频率成正比：
{\displaystyle X_{L}=\omega L}
其中，{\displaystyle X_{L}}
从这方程可以观察到，当交流电源的角频率趋向于零时，电源会趋向于直流电源，感抗会趋向于零，对于电流的通过阻碍越低。所以，在低频率运作时，电感器貌似短路。假设电源角频率越高，则感抗越高，假设给定电压源振幅，则电流会趋向于零。所以，在高频率运作时，电感器貌似断路。
电感器是一个线圈导体。根据法拉第感应定律，通过载流循环的磁通量变率，会生成的感应电动势为
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{{\operatorname {d} \Phi _{B}} \over \operatorname {d} t}}
其中，{\displaystyle {\mathcal {E}}}
假设电感器的线圈匝数是 {\displaystyle N}
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{\operatorname {d} \Phi _{B} \over \operatorname {d} t}}
感应电动势会阻碍电流流动。常定直流电所产生的磁场，其通过线圈的磁通量是个常数，变率为零，感应电动势也为零。所以，常定直流电会将电感器视为短路（通常电感器的材质为低电阻率材料）。交流电变率的时间平均值跟频率成正比，因此感抗与频率也成正比。
阻抗组合
主条目：串联电路和并联电路
应用串联电路和并联电路的阻抗计算定则，就可以计算出简单电路的总阻抗。除了阻抗是复数以外，这定则与串联电路和并联电路的电阻计算定则等同。但是，对于一般电路案例，还需要通过等效阻抗转换（equivalent impedance transform）这一道步骤。
星形电路和三角形电路示意图。
具有多于两个终端点的阻抗电路，无法约化为只具有一个阻抗元件的等效电路；具有 {\displaystyle n}
串联电路
以串联方式相连接的元件。
假设一个电路的元件是以串联方式相连接，则通过每一个元件的电流都相等，等效阻抗是每一个元件的阻抗的总和：
{\displaystyle Z_{eq}\ {\stackrel {def}{=}}\ Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}}
其中，{\displaystyle Z_{eq}}
以实部项目和虚部项目表示，
{\displaystyle Z_{eq}=R_{eq}+jX_{eq}=(R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n})+j(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})}
并联电路
以并联方式相连接的元件。
假设一个电路的元件是以并联方式相连接，则每一个元件两端的电压都相等，每一个元件的阻抗的倒数，总和起来就是等效阻抗的倒数：
{\displaystyle {\frac {1}{Z_{eq}}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{Z_{n}}}}
对于 {\displaystyle n=2}
{\displaystyle Z_{eq}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}}
以实部项目 {\displaystyle R_{eq}}
{\displaystyle Z_{eq}=R_{eq}+jX_{eq}}
其中，
{\displaystyle R_{eq}={\frac {(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(X_{1}+X_{2})+(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(R_{1}+R_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}}}
{\displaystyle X_{eq}={\frac {(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(X_{1}+X_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}}}
测量
当测量电路元件的阻抗时，必需先了解测量值与真实值之间可能会出现的差别。这是因为测量仪器本身的残余阻抗和测量的准确度问题。给定已知阻抗真实值的元件，然后比较其测量值与真实值，就可以知道这测量方法的优劣。
测量阻抗的方法有很多种，例如，电桥法、谐振法、电压-电流法、阻抗频谱法等等[7][8]。每一种方法都有其优点和缺点。测量者可以选择的方法。
电桥法
交流电桥电路图
交流电桥貌似惠斯登桥，可以用来测量阻抗。将交流电源连接于交流电桥两端，电桥的四个元件的阻抗分别为 {\displaystyle Z_{1}}
{\displaystyle Z_{x}=Z_{2}Z_{3}/Z_{1}}
以相量表示，
{\displaystyle Z_{x}=|Z_{x}|\angle \theta _{x}=|Z_{2}Z_{3}/Z_{1}|\angle (\theta _{2}+\theta _{3}-\theta _{1})}
这方法历史悠久，很容易制作成品仪器，费用低廉，准确率高；但是，不能够自动化，必需手工调整已知阻抗来达成平衡，而且电桥的测量频域比较狭窄。
谐振法
谐振法电路图
谐振法依赖RLC串联电路在共振状况的物理行为来测量元件的阻抗。这方法使用到品质因子（Q factor） {\displaystyle Q}
施加正弦电压源于电路。设定测试的频率为 {\displaystyle \omega }
- 调整可调电容器的电容 {\displaystyle C}
- 如右图所示，将阻抗为 {\displaystyle Z_{x}}
，使得电路进入共振状况。用测Q计测量电容器的品质因子 {\displaystyle Q'}
。
对于*个共振状况，可调电容器的电抗 {\displaystyle X_{C}}
{\displaystyle X_{C}+X_{L}=0}
所以，
{\displaystyle {\frac {1}{\omega C}}=\omega L}
从前面关于品质因子的论述，可以写出
{\displaystyle Q={\frac {|X_{C}|}{R}}={\frac {1}{\omega CR}}={\frac {\omega L}{R}}}
对于第二个共振状况，被测元件的电抗 {\displaystyle X_{X}}
{\displaystyle X_{C'}+X_{X}+X_{L}=0}
所以，被测元件的电抗为
{\displaystyle X_{X}={\frac {1}{\omega C'}}-\omega L={\frac {1}{\omega C'}}-{\frac {1}{\omega C}}={\frac {C-C'}{\omega CC'}}}
品质因子为
{\displaystyle Q'={\frac {|X_{C'}|}{R_{X}+R}}={\frac {1}{\omega C'(R_{X}+R)}}}
所以，被测元件的电阻为
{\displaystyle R_{X}={\frac {1}{\omega C'Q'}}-{\frac {1}{\omega CQ}}}
被测元件的阻抗为
{\displaystyle Z_{X}=R_{X}+jX_{X}=\left({\frac {1}{\omega C'Q'}}-{\frac {1}{\omega CQ}}\right)+j\left({\frac {1}{\omega C'}}-{\frac {1}{\omega C}}\right)}
这方法可以用于测量高品质因子的元件。但是，必需手工调整来达成共振。
参阅
- 阻抗匹配
- 阻抗心动描记术（impedance cardiography）
- 阻抗电桥（impedance bridging）
- 特性阻抗（characteristic impedance）
- 负阻抗变换器（impedance bridging）
| 导抗 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 实数 | 虚数 | 复数 | 单位 | |
| 抗性 | 电阻（R） | 电抗（X） | 阻抗（Z） | 欧姆（Ω） |
| 导性 | 电导（G） | 电纳（B） | 导纳（Y） | 西门子（S） |